Kuantor

KUANTOR UNIVERSAL / UNIVERSAL QUINTIFIER

Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya memiliki sifat kalimat menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata “untuk semua/untuk setiap x” di depan kalimat terbuka yang mengandung variable x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu nilai kebenaran. Kuantor universal disimbolkan “ "∀"  ”.

kuantor universal mengidentifikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk setiap indovidu-individunya. Contoh :

“Semua gajah mempunyai belalai”

Maka jika di predikatkan G(x) => B(x) “ jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai.

Pada kalimat diatas sudah merupakan predikat tp belum termasuk kuantor universal krna belum memuat “semua”. Olehnya itu diberi symbol kuantor universal, sehingga menjadi :

("∀"  x) (G(x) => B(x)) “ untuk semua x, jika x adalah gajah maka x mempunyai belalai”.

Pernyataan-pernyataan yang berisi kata “semua”, “setiap”. Dan kata yang lain yang artinya sama. Mengindekasikan adanya pengkuantifikasian secara universal maka dipakai kuantor universal. Contoh lain :

“Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks”

("∀"  x) (M(x) => B(x)) “ untuk semua x, jika x adalah mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks”

Langkah langkah melakukan Pengkuantor universalan

          “semua mahasiswa harus rajin belajar"

• Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalny, yaitu:

                       “jika x mahasiswa, maka x harus rajin belajar”

                        Selanjutnya akan ditulis: Mahasiswa (x) => Belajar(x)

• Beri kuantor universal di depannya, bisa ditulis :

                        ("∀"  x) Mahasiswa (x) => Belajar (x)

• Ubahlah menjadi suatu fungsi

                                      ("∀"  x) (M(x) => B(x))

Cotoh :

“semua artis itu cantik”

Jika x adalah artis maka x cantik

("∀" x) (A(x) => C(x))

“jika diketahui persamaan x+3 = 10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A < 5, tentukan nilai kebenaran ("∀" x∈A) x+3 < 10”

Penyelesaian :

Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu dimana A={1,2,3,4}. maka untuk semua nilai A yangdimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x + 3 < 10.  Untuk 

A = 1, maka 1 + 3 < 10 4 < 10 memenuhi  

A = 2, maka 2 + 3 < 10 5 < 10 memenuhi 

A = 3, maka 3 + 3 < 10 6 < 10 memenuhi 

A = 4, maka 4 + 3 < 10 7 < 10 memenuhi

Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀ x) x + 3 < 10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A = 8, sehingga 8 + 3 < 10 11 < 10, dimana hasilnya salah. maka (∀ x) x + 3 < 10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.

KUANTOR EKSISTENSIAL

Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantra objek-objek (term) paling tidak ada satu yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata “ terdapat..”,” beberapa..”, “ada….” Dan lain yang mempunyai arti yang sama, kuantor eksistensial dapat disimbolkan “∃”.

Langkah-langkah melakukan kunator eksistensial adalah sebagai berikut :

“beberapa orang suka Es Krim”

• Tentukan lingkup (scope) dari kuantor eksistensial:

              “ada x adalah orang, dan x menyukai es krim”, selanjutnya ditulis, orang(x), menyukai es krim(x)

• Memberi symbol kuantor didepan

              (∃x) Orang(x) ˄ Es krim (x)

• Kemudian tuliskan fungsinya

      (∃x) (O(x) ˄ Es(x))

Contoh :

“beberapa orang rajin beribadah”

Ada x adalah orang, dan x rajin beribadah 

(∃x) Orang(x) ˄ Ibadah (x)

(∃x) (O (x) ˄ I (x))

Contoh lagi :

Misalkan B adalah bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x∈B)(x^2=x)

Penyelesaian 

(∃x∈B)(x^2=x) : dapat dibaca “ terdapat x adalah bilangan bulat yang memenuhi x2=x

(∃x∈B)(x^2=x) akan bernilai benar jika paling tidak ada satu bilang bulat yang memenuhi x2=x

Misal 

x = -1, maka (-1)2= 1 tidak memenuhi 

X = 1, maka (1)1= 1 memenuhi

Karna ada satu yang memenuhi yaitu x=1 maka pernyataan diatas bernilai benar.

Hal yang harus diketahui adalah :

• Jika pernyataan merupakan kuantor universal maka menggunakan perangkai Implikasi, seperti “jika semua… maka…”
• Jika pernyataan merupakan kuantor eksistensial maka menggunakan perangkai konjungsi, seperti “ beberapa…… dan…”
• Perhatikan penulisan serta peletakkan tanda kurungnya.

KUANTOR GANDA

Contoh-contoh diatas berhubungan dengan predikat unary atau relasi satu tempat (satu objek). Tentu saja penulisan symbol harus menunjukkan predikat n-ary yaitu relasi dimana objeknya sebanyak lebih dari satu : perhatikan contoh dibawah :

Semua orang mencintai Jogjakarta : (∀x)(O(x) => C(x,j)

Setiap bilangan genap dapat dibagi 2 (∀x)G(x) => B(x,2)

Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :

(∀x)(∃y)P(x,y) = ((∃y)∀x)P(x,y)

(∃x)(∃y)P(x,y) =(∃y)(∀x)P(x,y)

(∀x)(∀y)P(x,y) =(∀y)(∀x)P(x,y)

Inkaran/ negasi kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama dengan negasi  kalimat kuantor tunggal.

¬[(∀x)(∃y)P(x,y)] = (∃x)(∀y)¬P(x,y)

Contoh :

Tentukan negasi dari pernyataan “ ada toko buah yang menjual semua jenis buah”

Penyelesaian:

“Ada took buah yang menjual segala jenis buah” dapat ditulis (∃x)(∀y)x menjual y

¬[(∃x)(∀y)x menjual y]   = (∀x)(∃y)x tidak menjual y  

Dibaca : “semua toko buah menjual paling sedikit satu jenis buah”

Mengubah pernyataan kedalam logika predikat yang memiliki kuantor ganda 

Missal : “ada seseorang yang mengenal setiap orang”

• Jadikan potongan pernyataan “x kenal y”, maka akan menjadi (x,y). K(x,y)
• Jadikan potongan “ x kenal semua y”,  (∀y)K(x,y)
• Jadikan potongan “ ada x kenal y”, (∃x)(∀y) K(x,y)