Logika Predikat

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, bahwa titik berat suatu logika adalah pada pembuktian validitas suatu argument logika proposional dengan berbagai teknik yang relevan. Yaitu menggunakan table kebenaran sebagai dasar pembuktian dan dan juga menggunakan hukum-hukum logika.

Logika proposisional sudah cukup untuk menangani pernyataan-pernyataan yang sederhana dan banyak dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Akan tetapi logika proposisional saja ternyata belum mampu menangani argumen-argumen yang berisi pernyataan-pernyataan yang rumit dan sering dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Sebagai contoh, perhatikan argumen berikut:

Contoh 1:

1.       Semua gajah mempunyai belalai

2.       Dumbo seekor gajah

3.       Dengan demikian, Dumbo memiliki belalai.

Tanpa perlu dibuktikan validitasnya, orang-orang pasti mengatakan argumen tersebut valid karena dengan jelas kesimpulan mengikuti premis-premisnya. Akan tetapi bagaimana cara membuktikannya? Tentunya menggunakan logika proposisional.

ARGUMEN PADA LOGIKA PREDIKAT

Validitas sebuah argumen dapat dibuktikan dengan contoh yang mirip dengan contoh 1. perhatikan contoh argumen berikut:

Contoh 2:

1. Semua mahasiswa pasti pandai

2. Badu seorang mahasiswa

3. Dengan demikian, Badu pandai

Secara nalar, kebanyakkan orang akan menilai bahwa argumen di atas mempunyai validitas yang kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingin dibuktikan dengan logika proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan. Pembuktiannya dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur logika proposisional dengan menentukan terlebih dahulu proposisi-proposisinya :

A = Semua mahasiswa pasti pandai

B = Badu seorang mahasiswa

C = Badu pasti pandai

Selanjutnya akan menjadi seperti berikut :

A

B

_____

:. C

Dalam ekspresi logika : (A ˄ B)=>C

Dalam bentuk ekspresi logika diatas, tidak ada hukum-hukum logika proposisional yang dapat digunakan  untuk membuktikan validitas argumen tersebut karena tidak ada yang mampu menghubungkan antara ketiga proposisi yang digunakan diatas. Atau tidak mungkin suatu kesimpulan yang berbeda dapat  dihasilkan dari premis-premis yang berbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan berupa C dapat dihasilkan dari premis A dan premis B.

Jika argumen diatas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional, maka kalimatnya harus diperbaiki. Misal seperti berikut:

Contoh 3:

1.       Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai

2.       Badu seorang mahasiswa

3.       Dengan demikian, ia pasti pandai

Jika diubah dalam bentuk ekspresi logika :

1.       B=>C     premis 1

2.       B             premis 2

3.       C             kesimpulan

Atau dapat juga ditulis : [(B=>C) ˄ B] => C

Dalam logika proposisional, ekspresi logika diatas sudah benar karena kesimpulan diambil dari premispremis. Persoalan yang terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya mampu menangkap ide pada argumen yang pertama yaitu “Semua mahasiswa pandai”. Ide pada pernyataan tersebut tidak tertangkap pada argumen kedua karena hanya mampu menunjuk seorang mahasiswa yaitu Badu, bukan semua mahasiswa. Persoalan lain juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek. Misalnya orang yang dimaksudkan jika diganti dengan kata ganti orang. Perhatikan pernyataan-pernyataan pada contoh argumen berikut:

Contoh 4:

1.       Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai

2.       Dewi seorang mahasiswa

3.       Dengan demikian, ia pasti pandai

Siapakah “ia” yang berada pada kesimpulan? Apakah Badu atau Dewi?. Kalau premis 1 diubah menjadi, “Jika Dewi seorang mahasiswa, maka ia pandai”, maka pernyataan tersebut sudah pasti tepat. Akan tetapi, argumen tersebut menunjuk kepada dua orang mahasiswa yaitu Badu dan Dewi, sehingga kata “ia” sebagai kata ganti tunggal tidak bisa berperan dengan tepat karena bisa berarti “Badu”, bisa juga berarti “Dewi”.

Jadi suatu argumen yang sangat kuat logikanya, memag ada yang tidak dapat ditangani oleh logika proposisional. Oleh karena itu, logika proposisional dikembangkan menjadi logika predikat (predicate logic) atau kalkulus predikat (predicate calculus).

Untuk mencari kesamaan antara pernyataan-pernyataan dalam argumen pada logika predikat, diperlukan sesuatu yang mampu menghubungkannya. Pada contoh 4, penghubung antara Badu dan Dewi adalah keduanya mahasiswa. Selain mengidentifikasikan individu-individunya, yaitu Badu dan Dewi, juga akan dicari predikatnya. Ini merupakan langkah awal logika predikat sebelum membuktikan validitasnya. Secara umum, predikat digunakan untuk menjelaskan properti, yakni hubungan antara individu-individu. Lihat contoh yang sederhana berikut:

Contoh 5:

Badu dan Dewi berpacaran

Dalam logika proposisional akan dipecah menjadi dua pernyataan, yaitu “Badu berpacaran” dan “Dewi berpacaran”. Kedua pernyataan tersebut akan menjadi aneh karena maksud kalimatnya bukan seperti itu. Disini tidak diketahui dengan siapa Badu atau Dewi berpacaran. Padahal pada pernyataan awal jelas bahwa Badu berpacaran dengan Dewi atau Dewi berpacaran dengan Badu.

Dengan logika predikat, kata “berpacaran” pada contoh 5 merupakan predikat, sedangkan individu-individunya yang berupa identitas yang dihubungkan dengan predikat tersebut, yaitu Badu dan Dewi, disebut term. Term pada logika predikat berfungsi sama seperti kata benda (noun) pada bahasa Inggris.

Sebagai pelengkap term dan predikat, orang menggunakan kuantor (quantifier), sedangkan prosesnya disebut pengkuantoran (quantification). Kuantor mengindikasikan seberapa banyak perulangan pada pernyataan tertentu yang bernilai benar, khususnya kuantor universal (universal quantifier) yang mengindikasikan suatu pernyataan selalu bernilai benar. Kuantor lainnya adalah kuantor eksistensial (existensial quantifier) yang mengindikasikan bahwa suatu pernyataan kadang-kadang bernilai benar atau mungkin juga salah. Pada pernyataan “Semua mahasiswa pasti pandai” maka kata “semua” secara universal semuanya selalu bernilai benar.

Dari uraian diatas, maka hubungan antara logika predikat dengan logika proposisional menjadi jelas, bahwa logika predikat sebenarnya menjadikan logika proposisional menjadi bersifat universal atau umum. Dengan demikian, selain term, predikat dan kuantor, logika predikat juga memiliki proposisi-proposisi dan perangkai-perangkai sebagai bagian dari pembahasan dan proses manipulasinya.

Satu bagian yang penting dari logika predikat adalah fungsi proposisional (propositional function) atau cukup disebut fungsi saja. Fungsi berperan penting sewaktu menggunakan persamaan-persamaan karena ia bertugas persis seperti variabel proposisional karena fungsi tersebutlah yang dirangkai dengan perangkai-perangkai logika, dan kemudian membentuk ekspresi logika, dari yang rumit sampai yang sederhana dan digunakan sebagai bahan untuk dimanipulasi secara matematis.

Bagi para ahli di bidang ilmu komputer, logika predikat berperan penting dengan beberapa alasan. Pertama, logika predikat memberi alasan logis yang mendasari bahasa pemrograman logika, misalnya PROLOG dan LISP. Kedua, logika predikat mampu mendorong pengembangan kebutuhan aplikasi komputer. Ketiga, logika predikat mampu berperan di bagian pembuktian tentang masalah “correctness” sehingga dapat secara tepat mengetahui kondisi program yang menghasilkan keluaran yang benar.

Contoh 6:

1.       Setiap kucing mempunyai ekor

2.       Tom adalah seekor kucing

3.       Dengan demikian, Tom memiliki ekor

Atau

1.       Setiap lelaki hidup abadi

2.       Socrates adalah seorang lelaki

3.       Dengan demikian, Socrates hidup abadi

Argumen juga bisa lebih panjang karena memiliki lebih dari 2 premis, tetapi tetap dengan satu kesimpulan. Lihat contoh berikut:

Contoh 7:

1.       Badu menyukai Siti

2.       Pria yang menyukai Siti pasti menyukai Dewi

3.       Badu hanya menyukai wanita cantik

4.       Dengan demikian, Dewi adalah wanita cantik

Jelas bahwa kesimpulan pada pernyataan ke-4 adalah logis karena jelas berasal dari premis-premisnya, tetapi jika dibuktikan melalui logika proposisional akan terjadi kesulitan karena kesimpulan bukan diambil utuh dari premisnya, tetapi merupakan gabungan dari beberapa premis. Disinilah logika predikat akan berperan. Banyak argumen logis yang tidak bisa diselesaikan pembuktian validitasnya dengan logika proposisional. Untuk itu, kemudian dikembangkan logika predikat untuk mengatasi masalah tersebut.

Logika predikat diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788-1856) dengan doktrinnya dinamakan “Quantification Theory”. Oleh karena itu, logika predikat sebenarnya adalah logika proposisional yang ditambah dengan hal-hal baru, yaitu pengkuantoran.

KALIMAT BERKUANTOR

Perhatikan kalimat-kalimat berikut:

1.       Semarang ibukota Jawa Tengah

2.       X adalah binatang berkaki empat, X = {kuda, burung, ular, singa}

Jika diperhatikan pada kedua kalimat diatas, kalimat (a) adalah sebuah kalimat pernyataan dengan nilai kebenaran T. kalimat (b) belum dapat ditentukan nilai kebenarannya sebelum variabel x-nya diganti dengan salah satu anggota himpunan dari x, karena itu kalimat (b) disebut kalimat terbuka.

Jika x diganti dengan dengan “kuda” atau “singa”, maka kalimat terbuka (b) menjadi benar. Tetapi jika diganti dengan “burung” atau “ular”, maka kalimatnya menjadi salah.

Apa yang terjadi jika terhadap suatu kalimat terbuka ditambahkan kata-kata seperti : “untuk semua / setiap x … , Beberapa / Terdapat / Ada x … “ untuk kalimat (b) maka kalimatnya menjadi:

1)      untuk semua/setiap x, x adalah binatang berkaki empat

2)      terdapat binatang x, dimana x adalah binatang berkaki empat

kata-kata semua… , setiap … , beberapa … , terdapat …, ada …, seperti diatas disebut dengan KALIMAT BERKUANTOR (Quantifier). Kuantor tersebut menunjukkan atau berkaitan dengan banyaknya pengganti peubah x sehingga didapatkan suatu pernyataan berkuantor yang bernilai benar saja atau salah saja. Seperti yang telah diuraikan pada argumen logika predikat, kuantor ada dua jenis yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.